Perbezaan Antara Orthogonal dan Orthonormal

Orthogonal vs Orthonormal

Dalam matematik, kedua-dua perkataan ortogonal dan orthonormal sering digunakan bersama dengan satu set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam erti kata bahawa ia adalah unsur ruang vektor - struktur algebra yang digunakan dalam aljabar linear. Untuk perbincangan kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalaman - ruang vektor V bersama dengan produk dalam [] yang ditakrifkan pada V .

Sebagai contoh, untuk produk dalaman, ruang adalah satu set semua vektor kedudukan 3 dimensi bersama dengan produk titik biasa.

Apakah ortogonal?

Satu subjek nonempty S ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika bagi setiap berbeza u, v di S , [u, v] = 0; i. e. produk dalam u dan v bersamaan dengan skalar sifar dalam ruang produk dalam.

Contohnya, dalam set semua vektor posisi 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahawa, bagi setiap vektor kedudukan yang berbeza p dan q < di S, p dan q berserenjang antara satu sama lain. (Ingatlah bahawa produk dalam ruang vektor ini adalah produk dot. Juga, produk dot dua vektor adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika dua vektor berserenjang satu sama lain.)

Pertimbangkan set

S = {(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, daripada vektor kedudukan 3-dimensi. Perhatikan bahawa (0, 2, 0). (4, 0, 0) = 0 , (4, 0, 0) . (0, 0, 5) = 0 & (0, 2, 0) . (0, 0, 5) = 0. Oleh itu, set S adalah ortogonal. Khususnya, dua vektor dikatakan ortogonal jika produk dalamannya adalah 0. Oleh itu, setiap pasangan vektor dalam S adalah ortogonal. Apa itu orthonormal?

Suatu tak terjual yang tidak berkembar

S ruang produk dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S ortogonal dan untuk setiap vektor u di S , [u, u] = 1. Oleh itu, dapat dilihat bahawa setiap set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya. Contohnya, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahawa, bagi setiap vektor posisi yang berbeza p

dan q dalam S , p dan q berserenjang antara satu sama lain, dan bagi setiap p di S , | = 1. Ini kerana syarat [p, p] = 1 dikurangkan kepada p. p = | p || p | cos0 = | p | 2 = 1, bersamaan dengan ^{| p | =} 1. Oleh itu, diberikan set ortogonal kita boleh membentuk set orthonormal yang sama dengan membahagikan setiap vektor dengan magnitudnya. T = {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} adalah subset ortonormal bagi semua vektor kedudukan 3-dimensi.Ia mudah dilihat bahawa ia diperoleh dengan membahagi setiap vektor dalam set

S , dengan magnitud mereka. Apakah perbezaan antara ortogonal dan orthonormal? Suatu tak terhingga subset

S

• ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika bagi setiap u, v > S , [u, v] = 0. Walau bagaimanapun, adalah orthonormal, jika dan hanya jika syarat tambahan - bagi setiap vektor u dalam S , [u, u] = 1 berpuas hati. Mana-mana set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya. Setiap set ortogonal sepadan dengan set ortonormal yang unik tetapi set ortonormal mungkin sesuai dengan banyak set ortogonal.