Perbezaan Antara Persamaan Pembezaan Linear dan Nonlinear
Linear vs Persamaan Pembezaan Nonlinear
Persamaan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pekali kebezaan atau terbitan pembolehubah yang tidak diketahui dikenali sebagai persamaan pembezaan. Persamaan kebezaan boleh sama ada linear atau tidak linear. Skop artikel ini adalah untuk menjelaskan apa persamaan pembezaan linear, persamaan pembezaan bukan linear, dan apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan tak linear.
Sejak perkembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh para ahli matematik seperti Newton dan Leibnitz, persamaan pembezaan telah memainkan peranan penting dalam kisah matematik. Persamaan pembezaan sangat penting dalam matematik kerana pelbagai aplikasi mereka. Persamaan pembezaan adalah di tengah-tengah setiap model yang kami usahakan untuk menerangkan sebarang senario atau peristiwa di dunia sama ada dalam fizik, kejuruteraan, kimia, statistik, analisis kewangan, atau biologi (senarai itu tidak berkesudahan). Malah, sehingga kalkulus menjadi teori yang kukuh, alat-alat matematik yang betul tidak dapat digunakan untuk menganalisis masalah-masalah yang menarik di alam.
Persamaan yang terhasil daripada aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat rumit dan kadangkala tidak dapat diselesaikan. Walau bagaimanapun, ada yang dapat kita selesaikan, tetapi mungkin kelihatan sama dan mengelirukan. Oleh itu, untuk persamaan pembezaan identifikasi yang lebih mudah dikategorikan oleh tingkah laku matematik mereka. Linear dan bukan linear adalah satu pengkategorian. Adalah penting untuk mengenal pasti perbezaan antara persamaan pembezaan linier dan tak linear.
Apakah Persamaan Pembezaan Linear?
Anggap bahawa persamaan pembezaan f: X → Y dan f (x) = y, persamaan pembezaan tanpa syarat taklid yang tidak diketahui y dan derivatifnya dikenali sebagai persamaan kebezaan linear.
Ia mengenakan syarat bahawa y tidak boleh mempunyai istilah indeks yang lebih tinggi seperti y 2 , y 3 , … dan gandaan derivatif seperti
Ia juga tidak boleh mengandungi tidak linear syarat seperti Sin y, e y ^ - 2 , atau ln y. Ia mengambil borang,
di mana y dan g adalah fungsi x. Persamaan adalah persamaan pembezaan n, yang merupakan indeks derivatif tertib tertinggi.
Dalam persamaan kebezaan linear, pengendali pembezaan adalah pengendali linear dan penyelesaian membentuk ruang vektor. Sebagai hasil daripada sifat linear penyelesaian penyelesaian, gabungan penyelesaian linear juga merupakan penyelesaian kepada persamaan pembezaan.Iaitu, jika y 1 dan y 2 adalah penyelesaian persamaan kebezaan, maka C 1 y 1 + C 2 y 2 juga merupakan penyelesaian.
Linearity persamaan hanya satu parameter klasifikasi, dan ia dapat selanjutnya dikategorikan ke dalam persamaan pembezaan homogen atau tidak homogen dan biasa atau separa. Jika fungsi g = 0 maka persamaan adalah persamaan kebezaan homogen homogen. Jika f adalah fungsi dua atau lebih pembolehubah bebas (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y persamaan adalah persamaan pembezaan separa linear.
Kaedah penyelesaian untuk persamaan kebezaan bergantung kepada jenis dan pekali persamaan kebezaan. Kes yang paling mudah timbul apabila pekali adalah tetap. Contoh klasik untuk kes ini ialah undang-undang baru Newton gerakan dan pelbagai aplikasi. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan pembezaan linier urutan kedua dengan pekali malar.
Apakah Persamaan Pembezaan Tidak Linear?
Persamaan yang mengandungi istilah nonlinear dikenali sebagai persamaan kebezaan bukan linear.
Semua di atas adalah persamaan pembezaan tak linear. Persamaan pembezaan tidak linear sukar untuk diselesaikan, oleh itu, kajian yang rapat diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Dalam kes persamaan pembezaan separa, kebanyakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian umum. Oleh itu, setiap persamaan perlu dirawat secara berasingan. Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamik bendalir, persamaan medan Einstein tentang relativiti umum adalah persamaan pembezaan separa tak linear yang diketahui. Kadang-kadang penerapan persamaan Lagrange kepada sistem pemboleh ubah boleh menyebabkan sistem persamaan pembezaan separa tidak linear.
Apakah perbezaan antara Persamaan Pembezaan Linear dan Nonlinear?
• Persamaan kebezaan, yang hanya mempunyai linear terms pembolehubah tidak diketahui atau bergantung dan derivatifnya, dikenali sebagai persamaan kebezaan linear. Ia tidak mempunyai istilah dengan indeks indeks yang bergantung kepada lebih tinggi daripada 1 dan tidak mengandungi sebarang derivatifnya. Ia tidak boleh mempunyai fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma berkaitan dengan pemboleh ubah bergantung. Sebarang persamaan kebezaan yang mengandungi istilah yang disebutkan di atas adalah persamaan kebezaan tak linear.
• Penyelesaian persamaan kebezaan linear mewujudkan ruang vektor dan pengendali pembeza juga merupakan pengendali linear dalam ruang vektor.
• Penyelesaian persamaan kebezaan linear agak mudah dan penyelesaian umum wujud. Untuk persamaan tak linear, dalam kebanyakan kes, penyelesaian umum tidak wujud dan penyelesaiannya mungkin menjadi masalah khusus. Ini menjadikan penyelesaian lebih sukar daripada persamaan linear.
