Perbezaan Antara Nombor Rasional dan Irrational Perbezaan Antara

Istilah "nombor" membawa kepada fikiran kita apa yang umumnya dikelaskan sebagai nilai integer positif yang lebih besar daripada sifar. Kelas nombor lain termasuk nombor dan dan pecahan , kompleks dan nombor nyata dan juga nilai integer negatif . Memperluas klasifikasi nombor selanjutnya, kita menghadapi nombor rasional

dan tidak rasional . Nombor rasional adalah nombor yang boleh ditulis sebagai pecahan. Dalam erti kata lain, nombor rasional boleh ditulis sebagai nisbah dua nombor. Perhatikan, sebagai contoh, nombor

6

. Ia boleh ditulis sebagai nisbah dua nombor. 6 dan 1 , yang membawa kepada nisbah 6/1 . Begitu juga, 2/3 , yang ditulis sebagai fraksi, adalah nombor rasional. Kita boleh, dengan itu, menentukan nombor rasional, sebagai nombor yang ditulis dalam bentuk pecahan, di mana kedua pengangka (nombor di atas) dan penyebut (nombor di bahagian bawah) adalah nombor penuh. Dengan definisi, oleh itu, setiap nombor keseluruhan juga merupakan nombor rasional.

Nisbah dua nombor besar seperti (

129, 367, 871

) / ( 547, 724, 863 ) juga akan menjadi contoh nombor rasional atas sebab mudah bahawa kedua-dua pengangka dan penyebutnya adalah nombor keseluruhan. Sebaliknya, apa-apa nombor yang tidak boleh dinyatakan dalam bentuk pecahan atau nisbah disebut sebagai tidak rasional. Contoh yang paling sering disebut nombor tidak rasional ialah √

2 ( 1 414213 …) . Satu lagi contoh popular nombor tidak rasional ialah pemalar berangka π ( 3. 141592 … ) .

Nombor tidak rasional boleh ditulis sebagai perpuluhan, tetapi bukan sebagai pecahan. Nombor irasional tidak sering digunakan dalam kehidupan seharian walaupun terdapat pada baris nombor. Terdapat bilangan nombor tidak rasional antara

0

dan 1 pada baris nombor. Nombor tidak rasional mempunyai digit tanpa mengulang yang tidak berkesudahan di sebelah kanan titik perpuluhan. Perhatikan bahawa nilai yang sering disebut

22/7

untuk pemalar π sebenarnya hanya satu nilai π >. Secara takrif, lingkaran bulatan dibahagi dua kali jejarinya ialah nilai π. Ini membawa kepada pelbagai nilai π , termasuk, tetapi tidak terhad kepada, 333/106, 355/113 dan sebagainya1. Hanya akar kuadrat bilangan persegi; i. e., akar kuadrat kotak sempurna adalah rasional.

√3 (Irrational)

√4 < = 2

(Rasional) √5, √6, √7, √8 (Irrational)

√9 = 3

(Rasional) dan sebagainya. Selanjutnya, kita perhatikan bahawa, hanya kekuasaan

n th n

yang bersifat rasional. Oleh itu, keenam

akar 64 adalah rasional, kerana

64 adalah keenam kuasa 2 . Tetapi keenam akar 63 tidak masuk akal. 63 tidak kuasa 6 ke yang sempurna.

Tidak dapat dielakkan, perwakilan perpuluhan irasional datang ke dalam gambar dan menimbulkan beberapa hasil yang menarik. Apabila kita menyatakan nombor rasional sebagai perpuluhan, maka perpuluhan adalah tepat (seperti dalam 1/5 = 0. 20) atau ia akan menjadi

tidak tepat

(seperti dalam, 1/3 ≈ 0 3333 ). Dalam kedua-dua kes, terdapat pola digit yang boleh diramal. Ambil perhatian bahawa apabila nombor tidak rasional dinyatakan sebagai perpuluhan, maka dengan jelas ia tidak dapat dijelaskan, kerana sebaliknya, nombor itu akan rasional. Selain itu, tidak akan ada corak digit yang boleh diramal. Sebagai contoh, √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 Sekarang, dengan nombor rasional, kita kadang-kadang menghadapi 1/11 = 0. 0909090 . Penggunaan kedua-dua tanda yang sama ( = ) dan tiga titik ( ellipsis ) menunjukkan bahawa walaupun tidak dapat menyatakan

1/11

sebagai perpuluhan, kita masih boleh menganggarkannya dengan bilangan digit perpuluhan yang dibenarkan untuk mendekatkan 1/11

. Oleh itu, bentuk perpuluhan 1/11

dianggap tidak tepat. Dengan token yang sama, bentuk perpuluhan ¼ iaitu 0. 25, adalah tepat. Datang ke borang perpuluhan untuk nombor tidak rasional, mereka akan sentiasa tidak tepat. Teruskan dengan contoh √ 2 , apabila kita menulis √2 = 1. 41421356237 … (perhatikan penggunaan ellipsis), ia dengan segera membayangkan bahawa tiada perpuluhan untuk > √2

akan tepat. Selanjutnya, tidak akan ada corak digit yang boleh diramalkan. Menggunakan konsep dari kaedah berangka, sekali lagi, kita boleh rasional anggaran untuk bilangan digit perpuluhan sehingga titik sedemikian sehingga kita hampir kepada √2 . Sebarang nota pada nombor rasional dan tidak rasional tidak boleh berakhir tanpa bukti wajib mengapa √2 tidak rasional. Dengan berbuat demikian, kami juga menjelaskan, contoh klasik bukti dengan radikal

. Anggap √2 adalah rasional. Ini membawa kita untuk mewakilinya sebagai nisbah dua bulat, katakan p dan q . √2 = p / q Tidak perlu dikatakan, p

dan q tidak mempunyai faktor yang sama, kerana jika ada faktor yang sama, mereka keluar dari pengangka dan penyebut.

Squaring kedua-dua belah persamaan, kita berakhir dengan,

2 = p 2 / q 2

Ini boleh ditulis dengan mudah sebagai,

p 2 = 2q > 2 Persamaan terakhir menunjukkan bahawa p

2

adalah sama. Ini hanya mungkin jika p itu sendiri. Ini seterusnya membayangkan bahawa p 2

boleh dibahagikan dengan

4 . Oleh itu, q 2

dan akibatnya q mesti ada.Jadi p dan q adalah kedua-duanya walaupun percanggahan kepada anggapan awal kita bahawa mereka tidak mempunyai faktor yang sama. Jadi, √2 tidak boleh rasional. Q. E. D.