Perbezaan Antara Laplace dan Fourier Transforms

Laplace vs Fourier Transforms

Kedua-dua transformasi Laplace dan Transform Fourier adalah transformasi yang penting, yang paling biasa digunakan sebagai kaedah matematik untuk menyelesaikan sistem fizikal model matematik. Prosesnya mudah. Model matematik kompleks ditukar kepada model yang lebih mudah dan mudah diselaraskan menggunakan transformasi yang penting. Apabila model yang lebih mudah diselesaikan, transformasi integral songsang diterapkan, yang akan memberikan penyelesaian kepada model asal.

Sebagai contoh, kerana kebanyakan sistem fizikal menghasilkan persamaan kebezaan, mereka boleh ditukar kepada persamaan algebra atau untuk mendapatkan persamaan pembezaan mudah mudah laras dengan menggunakan transformasi yang penting. Kemudian menyelesaikan masalah akan menjadi lebih mudah.

Apakah perubahan Laplace?

Memandangkan fungsi f (t) daripada pembolehubah sebenar t, perubahan Laplace ditakrifkan oleh integral

(bila ada), yang merupakan fungsi pembolehubah kompleks s. Ia biasanya dilambangkan oleh L { f (t)}. Transformasi Laplace terbalik fungsi F (s) akan dianggap fungsi f (t) sedemikian rupa sehingga L f (t)} = F (s) dan dalam notasi matematik yang biasa kita tulis, L ^-1 { F (s)} = f (t). Transformasi songsang boleh dibuat unik jika fungsi null tidak dibenarkan. Satu boleh mengenal pasti kedua-dua ini sebagai pengendali linear yang ditakrifkan dalam ruang fungsi, dan juga mudah untuk dilihat bahawa, L ^-1 (t)}} = f (t), jika fungsi null tidak dibenarkan. Jadual berikut menyenaraikan transformasi Laplace beberapa fungsi yang paling biasa.

Apakah transformasi Fourier?

Memandangkan fungsi

f

(t) daripada pembolehubah sebenar t, perubahan Laplace ditakrifkan oleh integral (bila ada), dan biasanya dilambangkan oleh F { f (

t)}. Transformasi songsang F -1 { F ⁽ α)} diberikan oleh integral. Transformasi Fourier juga linear, dan boleh dianggap sebagai pengendali yang ditakrifkan dalam ruang fungsi. Menggunakan transformasi Fourier, fungsi asal boleh ditulis seperti berikut dengan syarat fungsi tersebut hanya mempunyai beberapa kekurangan dan mempunyai integrasi.

Apakah perbezaan antara Laplace dengan Fourier Transforms?

Transformasi empatier fungsi

f

(

• t) didefinisikan sebagai, sedangkan perubahan laplace itu ditakrifkan sebagai. Transformasi Fourier ditakrifkan hanya untuk fungsi yang ditakrifkan untuk semua nombor nyata, sedangkan transform Laplace tidak memerlukan fungsi yang ditetapkan pada menetapkan nombor nyata negatif.

  

  Transformasi Fourier adalah kes khas transform Laplace. Ia dapat dilihat bahawa kedua-dua bertepatan dengan nombor nyata bukan negatif. (iaitu mengambil

  

  s
• di Laplace untuk menjadi
• iα + β di mana α dan β e β = 1 ^/ √ (2ᴫ) ⁾ Setiap fungsi yang mempunyai transformasi Fourier akan mempunyai transformasi Laplace tetapi bukan wakil- sebaliknya.